Proyecto 8: Una introducción a las álgebras C*

Asesores: Dr. Maribel Loaiza Leyva y Dra. María del Rosario Ramírez Mora

Duración: 14 al 25 de julio de 2025.

Área: Análisis

Resumen: En este proyecto estudiaremos las propiedades fundamentales de las álgebras C* y el papel que juegan en el Análisis Funcional, particularmente en Teoría de Operadores. Trabajaremos con muchos ejemplos y ejercicios que permitan a los estudiantes desarrollar una comprensión técnica e intuitiva de los resultados más significativos, proporcionando una base sólida para continuar su estudio en diversas áreas.

Introducción

Las álgebras C* son estructuras algebraicas que surgen de la combinación de álgebra abstracta y teoría de operadores en espacios de Hilbert, y tienen una relación fundamental con la física matemática y el análisis funcional. A lo largo del curso, exploraremos las propiedades fundamentales de estas álgebras. El ejemplo más sencillo son los números complejos con sus operaciones y norma usuales. En álgebra lineal se establece que toda transformación lineal de $\mathbb{C}$ en $\mathbb{C}$ se obtiene simplemente de multiplicar por un número complejo. Ahora bien; sin importar la norma del espacio, toda transformación lineal (operador) definida en un espacio normado de dimensión finita es acotada (continua). De esta forma $\mathbb{C}$ puede verse como los operadores acotados de $\mathbb{C}$ en $\mathbb{C}$. Esto es un caso particular del Teorema de Gelfand-Naimark-Segal que establece que, sin importar la naturaleza del álgebra C*, esta siempre se puede encajar en el álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert.

A medida que avanzamos, desarrollaremos una comprensión profunda de cómo las álgebras C* se interrelacionan con otros campos de las matemáticas y aprenderemos a manejarlas tanto en términos algebraicos como topológicos.

El objetivo principal es que los estudiantes adquieran la capacidad de trabajar con ejemplos concretos y abstractos y que aprecien la relación que existe entre las diversas áreas de las matemáticas.

Estructura

  • Los teoremas fundamentales del Análisis Funcional.
  • Espacios de Hilbert y operadores lineales acotados.
  • Álgebras de Banach: definición y ejemplos básicos.
  • Espectro y sus propiedades.
  • Involuciones y la propiedad $\|a^*a\|=\|a\|^2$.
  • Álgebras C*: definición y ejemplos básicos.
  • Álgebras C* conmutativas.
  • Representaciones de álgebras C*.
  • Construcción de la representación Gelfand-Naimark-Segal (GNS).

Referencias

  1. J. B. Conway, A Course in Functional Analysis, (2nd ed.). Springer Science and Business Media.
  2. J. B. Conway, A Course in Operator Theory, (2000). American Mathematical Society.
  3. E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley classics library.
  4. G. J. Murphy, $C^*$-Algebras and Operator Theory, (2014). Academic Press.
  5. K. Zhu, An Introduction to Operator Algebras, (1st ed.). CRC Press.